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§0.5 常用框架

优先套用已知框架，避免造轮子，即零基础计算。 解析效率依赖对框架内特殊点坐标的熟悉度。

例外情况：仅当满足参与图形生成最多原则时，可灵活调整（简洁优先）。

A(0,0) 框架 ：默认起手式与通用选择​

该框架也称万能系。通过设定 AA 点为原点，将底边对齐在 y=−1y = -1 线上，极大简化了切线与内心的表达。

公式卡片 —A(0,0) 基础设定

A=(0,0),B=(−b,−1),C=(c,−1)tan⁡B=b−1,tan⁡C=c−1外心：O=(−b+c2, −1+bc2)垂心：H=(0,−1+bc)G ⁣(−b+c3, −23)九点圆圆心：(−b+c2, −3−bc2)\begin{aligned} A &= (0, 0), \quad B = (-b, -1), \quad C = (c, -1) \\[0.5em] \tan B &= b^{-1}, \quad \tan C = c^{-1} \\[0.5em] \text{外心：}O &= \left(\dfrac{-b+c}{2},\ -\dfrac{1+bc}{2}\right) \\[0.5em] \text{垂心：}H &= (0, -1+bc)G\!\left(\frac{-b+c}{3},\ -\frac{2}{3}\right)\quad \text{九点圆圆心：}\left(\frac{-b+c}{2},\ -\frac{3-bc}{2}\right) \end{aligned}

至于内心的表达，我们有万能系的内心有理化版本（IJS 参数化）：

公式卡片

tan⁡B2=t,tan⁡C2=sb=12(t−1−t),c=12(s−1−s)I=(i,j)=(t−s2, −1+ts2)J=(s−1−t−12, −1−s−1t−12)S=((t−s)(1+ts)24ts, −(1+ts)24ts)(南极点)\begin{aligned} \tan\dfrac{B}{2} &= t, \quad \tan\dfrac{C}{2} = s \\[0.8em] b &= \dfrac{1}{2}(t^{-1}-t), \quad c = \dfrac{1}{2}(s^{-1}-s) \\[0.8em] I &= (i, j)=\left(\dfrac{t-s}{2},\ -\dfrac{1+ts}{2}\right) \\[0.8em] J &= \left(\dfrac{s^{-1}-t^{-1}}{2},\ \dfrac{-1-s^{-1}t^{-1}}{2}\right) \\[0.8em] S &= \left(\dfrac{(t-s)(1+ts)^2}{4ts},\ -\dfrac{(1+ts)^2}{4ts}\right) \quad \text{(南极点)} \end{aligned}

附录：以内心坐标 I(i,j)I(i, j) 作为基本变量的巧合点表示

公式卡片

b−c=2ij−(1+2j)bc=(1+j)2−i2−(1+2j)O=(ij1+2j, j2−i22(1+2j))S=(ij1+2j, j21+2j)J2=(−s−1j, s−1i)(B 旁心)J3=(t−1j, −t−1i)(C 旁心)N=(ij1+2j, −i21+2j)Sd=(i(i2+j2+j)i2+(j+1)2, −i2i2+(j+1)2)（鲨鱼恶魔点）\begin{aligned} b - c &= \dfrac{2ij}{-(1+2j)} \\[0.8em] bc &= \dfrac{(1+j)^2 - i^2}{-(1+2j)} \\[0.8em] O &= \left(\dfrac{ij}{1+2j},\ \dfrac{j^2 - i^2}{2(1+2j)}\right) \\[0.8em] S &= \left(\dfrac{ij}{1+2j},\ \dfrac{j^2}{1+2j}\right) \\[0.8em] J_2 &= (-s^{-1}j,\ s^{-1}i) \quad \text{(B 旁心)} \\[0.8em] J_3 &= (t^{-1}j,\ -t^{-1}i) \quad \text{(C 旁心)}\\[0.8em] N &= \left(\dfrac{ij}{1+2j},\ \dfrac{-i^2}{1+2j}\right) \\[0.8em] S_d &= \left(\dfrac{i(i^2+j^2+j)}{i^2+(j+1)^2},\ \dfrac{-i^2}{i^2+(j+1)^2}\right) \quad \text{（鲨鱼恶魔点）} \end{aligned}

鸡爪圆内心系框架​

适合角分线上有大量巧合点的高端局框架。

公式卡片 — S(0,0) 框架：ISJ 自然有理

S=(0,0)B=(−m,n),C=(m,n)I=(α,β),J=(−α,−β)=−I满足：α2+β2=1,m2+n2=1A=(αβn−1, β2n−1)O=(0, (2n)−1)圆 ABC:x2+y2−n−1y=0H=(αβn−1, 2n−α2n−1)G=(αβ3n, β2+2n23n)N=(0, n−1)=2OK=[α(1−βn)n2−2βn+1, αn−2n2−2βn+1]\begin{aligned} S &= (0,0) \\[0.5em] B &= (-m, n), \quad C = (m, n) \\[0.5em] I &= (\alpha, \beta), \quad J = (-\alpha, -\beta) = -I \\[0.5em] \text{满足：} & \alpha^2 + \beta^2 = 1, \quad m^2 + n^2 = 1 \\[0.5em] A &= \left(\alpha\beta n^{-1},\ \beta^2 n^{-1}\right) \\[0.5em] O &= \left(0,\ (2n)^{-1}\right) \\[0.5em] \text{圆 } ABC &: x^2 + y^2 - n^{-1}y = 0 \\[0.5em] H &= \left(\alpha\beta n^{-1},\ 2n - \alpha^2 n^{-1}\right) \\[0.5em] G &= \left(\dfrac{\alpha\beta}{3n},\ \dfrac{\beta^2 + 2n^2}{3n}\right) \\[0.5em] N &= \left(0,\ n^{-1}\right) = 2O \\[0.5em] K &= \left[\dfrac{\alpha(1-\beta n)}{n^2 - 2\beta n + 1},\ \dfrac{\alpha n^{-2}}{n^2 - 2\beta n + 1}\right] \end{aligned}

其他框架​

  • I(0,1)I(0,1) 框架：内心在 yy 轴上，y=1y = 1 处。代表例题：P8。
  • 三旁心+内心垂心组框架：四个旁心和内心构成垂心组。
  • 无奈框架 A(−1,0),B(1,0)A(-1,0), B(1,0)：代表例题：25 东南双内心、CTST P16。
  • 垂直弦的圆： 如下：

公式卡片 垂直弦的圆

A(−a,0), C(c,0),B(0,−b), D(0,d)满足：ac=bd=1圆方程：x2+y2+(a−c)x+(b−d)y−1=0\begin{aligned} & A(-a,0),\ C(c,0), \quad B(0,-b),\ D(0,d) \\[0.5em] & \text{满足：} ac = bd = 1 \\[0.5em] & \text{圆方程：} x^2 + y^2 + (a-c)x + (b-d)y - 1 = 0 \end{aligned}