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§0.6 程序 / AI 的使用

在 AI 时代，结果简单即为已知。如果某个公式的结果简洁、优美，你就应该把它当作已知来用。至于推导过程——你可以让 AI 或程序代劳。

NumberEmpire 方程求解器​

🔗 网址： https://www.numberempire.com/equationsolver.php

NumberEmpire 语法卡片

  • 乘号 * 绝不可省略：必须输入 2*x 而非 2x。
  • 区分大小写：ff 与 FF 是完全不同的变量。
  • 变量陷阱：EE 是普通变量，ee 是自然对数底 2.718...2.718...！
  • 方程连接：多个方程之间用英文逗号 , 分隔。
  • 常用指令：直接在框内输入联立方程组，点击 Solve 即可获得解析解。

WolframAlpha​

🔗 网址： https://www.wolframalpha.com/

WolframAlpha语法卡片

  • 化简：Simplify[...] —— 用于压缩极其复杂的解析结果。
  • 因式分解：Factor[...] —— 寻找繁琐判别式 Δ\Delta 中的因式（如是否含 k2+1k^2+1）。
  • 解方程：Solve[...] —— 求解带有参数的复杂方程。

AI 大模型 (LLMs)‘’​

大模型技巧卡片

当公式极其复杂导致在线工具失效时，可以要求 AI：

“请使用 Python 的 SymPy 库，帮我化简这条抛物线与直线联立后的韦达定理表达式。”

变量名建议​

手写可以设 x1,y1x_1, y_1，但程序里建议设大写 TT 和小写 tt，或者 P,QP, Q 等单字母。

AI 补充公式示例：等角共轭坐标​

P(x,y)P(x,y) 在 A(0,0)A(0,0)，B(−b,−1)B(-b,-1)，C(c,−1)C(c,-1) 框架下的等角共轭点 IPI_P：

公式卡片 等角共轭点

XIP=2(1+y)(my−nx)P(P)X_{I_P} = \dfrac{2(1+y)(my - nx)}{\mathcal{P}(P)}

YIP=2(1+y)(mx+ny)P(P)Y_{I_P} = \dfrac{2(1+y)(mx + ny)}{\mathcal{P}(P)}'

其中 O(m,n)O(m,n) 为 △ABC\triangle ABC 的外心坐标，P(P)\mathcal{P}(P) 表示 PP 对圆 OO 的幂。

特别地，若 A=0A = 0 且 Im(B)=Im(C)=−1\text{Im}(B) = \text{Im}(C) = -1，则

P∗=2i(1+y)OPˉP(P)P^* = \dfrac{2i(1+y)O\bar{P}}{\mathcal{P}(P)}