§1.1 坐标的设法

简洁是宗教

方法卡片 坐标命名

点的字母应与坐标字母直接对应，让人一眼看出哪个量是哪个点。

$T(t,s)$、$X(x_1,y_1)$、$D(d,k_1d)$ 等。

分母厌恶

方法卡片 中点半角

有中点，一律设 $2b$ 或 $2c$；有半角，一律设 $2\alpha$ 或 $2\beta$。

这个 2 看起来很小，但非常重要。很多时候一道题的计算是否顺畅，从一开始怎么设坐标就注定了——如果你的坐标里出现了 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$，整个过程都会很难受。设 2 的好处是，用到中点时，坐标自动变成整数或简单表达式，不需要通分。

代表例题：20 北京预赛 P4。

根号厌恶

解析厌恶根号。带根号的式子不能参与计算，必须设出来摆着。如果一个点的坐标必须带根号，我们应设它为一个新字母，把这个不带根号的代数约束单独列出来。

实操要点

• 你的目标不是把每个量都算出来，而是让手头的量能参与后续运算、能看出结构。
• 一个算出来的量，如果你不知道它后面能和什么约掉，把它算出来的唯一功能就是抄错。

变量全正

方法卡片 变量全正

所有有直接几何意义的量，默认设成正的。

复数没有正负概念，解析有。 一条直线的斜率明显向右下倾斜（负斜率），你设它为 $y = -kx$，其中 $k > 0$。后续算出来的坐标里有 $k$ 的部分，你就知道正负是什么——直接如图择根。

变量全正不破坏对称性

对称本质上是指在某变换下存在不变量。这个变换不一定是 $b \to -b$，还可能是 $k \to 1/k$，或 $b/c \to -c/b$。并非设成一般量就可以粗糙地用对称外推结论。几何量天然是正的，输出的也是正的几何量。你要证的几何结论，镜像翻转后仍然成立。实操中变量全正利大于弊，简洁胜于对称，简洁胜于一切。

代表例题：23 巴尔干 P2。