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§3.1 关于单位圆

单位圆解析被复数上位压制。如果你的题目就一个圆，建议直接去学复数。

§3.2 万能系 A(0,0) 框架：OHG 自然有理​

公式卡片 A(0,0),B(−b,−1),C(c,−1),tan⁡B=b−1, tan⁡C=c−1A(0,0),\quad B(-b,-1),\quad C(c,-1),\quad \tan B = b^{-1},\ \tan C = c^{-1} O ⁣(−b+c2, −1+bc2)H(0, −1+bc)O\!\left(\frac{-b+c}{2},\ -\frac{1+bc}{2}\right)\quad H(0,\ -1+bc) G ⁣(−b+c3, −23)九点圆圆心：(−b+c2, −3−bc2)G\!\left(\frac{-b+c}{3},\ -\frac{2}{3}\right)\quad \text{九点圆圆心：}\left(\frac{-b+c}{2},\ -\frac{3-bc}{2}\right)

这些点的坐标都是 b, c 的有理函数，计算很流畅。

§3.3 万能系：IJS 的形式有理化​

公式卡片 tan⁡B2=t,tan⁡C2=s,b=12(t−1−t),c=12(s−1−s)\tan\frac{B}{2} = t,\quad \tan\frac{C}{2} = s,\quad b = \frac{1}{2}(t^{-1}-t),\quad c = \frac{1}{2}(s^{-1}-s) I ⁣(t−s2, −1+ts2),J=(s−1−t−12, −1−s−1t−12)I\!\left(\frac{t-s}{2},\ -\frac{1+ts}{2}\right),\quad J = \left(\frac{s^{-1}-t^{-1}}{2},\ \frac{-1-s^{-1}t^{-1}}{2}\right) S=((t−s)(1+ts)24ts, −(1+ts)24ts)S = \left(\frac{(t-s)(1+ts)^2}{4ts},\ -\frac{(1+ts)^2}{4ts}\right) B 旁心 J2(−s−1j, s−1i),C 旁心 J3(t−1j, −t−1i)\text{B 旁心 } J_2(-s^{-1}j,\ s^{-1}i),\quad \text{C 旁心 } J_3(t^{-1}j,\ -t^{-1}i)

以 (i, j) 为基本变量的巧合点表示，已在 §0.5.1 附录中列出。

§3.2 其他的圆​

3.5.A 垂直弦的圆​

公式卡片 A(−a,0), C(c,0), B(0,−b), D(0,d),ac=bd=1A(-a,0),\ C(c,0),\ B(0,-b),\ D(0,d),\quad ac = bd = 1 x2+y2+(a−c)x+(b−d)y−1=0x^2 + y^2 + (a-c)x + (b-d)y - 1 = 0

3.5.B 共轴圆系​

公式卡片 g=f1+λ⋅Ltg = f_1 + \lambda \cdot L_t

其中 LtL_t 是定根轴，f1f_1 是共根轴的任意定圆。能用就用，用了绝对不亏。

3.5.C 点圆共轴圆系​

记圆 g 在 P(x₁, y₁) 的切线为 Lt:y−kx−(y1−kx1)=0L_t: y - kx - (y_1 - kx_1) = 0，点圆 z=(x−x1)2+(y−y1)2=0z = (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = 0，则

公式卡片 g=z+λ⋅Lt=0g = z + \lambda \cdot L_t = 0

验两圆相切的利器：已知切点，验证 λP=λQ\lambda_P = \lambda_Q。

3.5.D 悬浮的定圆​

方法①：四边形版本

公式卡片 g=λ1f1+λ2⋅AC⋅BDAB⋅CD+λ3⋅AD⋅BCAB⋅CD=0g = \lambda_1 f_1 + \lambda_2 \cdot \frac{AC \cdot BD}{AB \cdot CD} + \lambda_3 \cdot \frac{AD \cdot BC}{AB \cdot CD} = 0

方法②：三角形版本

公式卡片 g=λ1⋅AB⋅BC+λ2⋅AC⋅BC+λ3⋅AB⋅AC=0g = \lambda_1 \cdot AB \cdot BC + \lambda_2 \cdot AC \cdot BC + \lambda_3 \cdot AB \cdot AC = 0

要求 x2x^2 和 y2y^2 系数相等，xyxy 系数为零，解出参数。